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数列の極限値とは
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問題 次の数列の極限値を答えよ。
  1. $ 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots , \dfrac{1}{n} , \cdots $
  2. $-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \cdots, \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n, \cdots$
  3. $ 2, 2, 2, \cdots , 2, \cdots $
極限と極限値の違い
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問題 次の数列の極限があればそれを答えよ。
  1. $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \cdots , \dfrac{1}{2n}, \cdots $
  2. $ 1,3,5, \cdots , 2n-1 , \cdots $
  3. $ -1, -8, -27, \cdots , -n^3, \cdots $
  4. $ 1, -2, 4, \cdots , (-2)^{n-1}, \cdots $
  5. $ 1, -1, 1, \cdots , (-1)^{n-1}, \cdots $
極限の計算（基本的な考え方）
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問題 $\dlim{n \to \infty}a_n = 2$, $\dlim{n \to \infty}b_n=3$ のとき，次の極限を求めよ。
  1. $\dlim{n \to \infty}(2a_n + 3b_n)$
  2. $\dlim{n \to \infty}(3 a_n - b_n)$
  3. $\dlim{n \to \infty}a_nb_n$
  4. $\dlim{n \to \infty}\dfrac{a_n+1}{b_n-2}$
数列の極限（整式・分数式）
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問題 次の極限を求めよ。
  1. $\dlim{n \to \infty}(n^2-n)$
  2. $\dlim{n \to \infty}(5n-n^3)$
  3. $\dlim{n \to \infty}\dfrac{5n+2}{3n-1}$
  4. $ \dlim{n \to \infty}\dfrac{n^2}{2n+1}$
極限の計算（無理式）
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問題 次の極限を求めよ。
  1. $\dlim{n \to \infty}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2})$
  2. $\dlim{n \to \infty}(\sqrt{n^2+3n}-n)$
はさみうちの原理
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問題 次の極限を求めよ。\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sin \dfrac{2}{3}n\pi
\]
無限等比数列の極限
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問題 次の数列の極限を調べよ。
  1. $\{2^n\}$
  2. $\left\{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}$
  3. $\left\{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^n\right\}$
  4. $\left\{\left(\sqrt{2}-2\right)^n\right\}$
無限等比数列の収束条件
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問題 数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の範囲と，そのときの極限値を求めよ。
無限等比数列の極限の利用
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問題 次の極限値を求めよ。
  1. $\dlim{n \to \infty}\dfrac{2 \cdot 3^n+2^n}{3^n-2^n}$
  2. $\dlim{n \to \infty}\dfrac{3^n+2^n}{2^n}$
$\{r^n\}$ の極限（公比が文字定数）
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問題 $r \neq -1$ のとき，数列 $\left\{\dfrac{r^n+1}{r^n-2}\right\}$ の極限を求めよ。
漸化式と極限
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問題 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。\[
a_1 = 6, \quad a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+1
\]
無限級数
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問題 次の無限級数が収束することを示し，その和を求めよ。\[
\dfrac{1}{1 \cdot 4}+\dfrac{1}{4 \cdot 7}+\dfrac{1}{7 \cdot 10}
+ \cdots + \dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} + \cdots
\]
無限等比級数
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問題 次の無限等比級数の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ。
  1. $1+ 3 + 9 + \cdots$
  2. $\retuwa{n=1}{\infty}\dfrac{1}{2^n}$
  3. 初項が $3$ で公比が $-\dfrac{1}{2}$
無限等比級数の収束条件
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問題 次の無限等比級数が収束するような $x$ の範囲と，そのときの和を求めよ。 \[
x, x(x-1), x(x-1)^2, \cdots
\]
無限等比級数と循環小数
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問題 循環小数 $0.\dot{3}$ を分数の形に表せ。
無限級数の性質
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問題 無限級数 $\retuwa{n=1}{\infty}\left(\dfrac{4}{5^n}-\dfrac{3}{2^n}\right)$ の和を求めよ。
関数の極限（根号を含む式）
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問題 次の関数の極限を求めよ。
  1. $\dlim{x \to 1}\sqrt{x+1}$
  2. $\dlim{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$
解答
  1. $ \dlim{x \to 1}\sqrt{x+1} = \sqrt{2}$
  2. \begin{align*}
    & \dlim{x \to 4}\dfrac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}\\
    &= \dlim{x \to 4}\dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}\\
    &= \dlim{x \to 4}\dfrac {1}{\sqrt{x}+2}\\
    &= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{4}
    \end{align*}