$\{r^n\}$ の極限（公比が文字定数）
問題
$r \neq -1$ のとき，数列 $\left\{\dfrac{r^n+1}{r^n-2}\right\}$ の極限を求めよ。
前やったのと同じような問題ですね。こういう場合は，分母と分子を $r^n$ で割って，\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{r^n+1}{r^n-2}
= \dlim{n \to \infty}\dfrac{1+\left(\dfrac{1}{r}\right)^n}{1-2 \cdot \left(\dfrac{1}{r}\right)^n}
\]で，数列 $\left\{\left(\dfrac{1}{r}\right)^n\right\}$ は $0$ に収束するので，答は $1$ です。簡単，簡単。
数列 $\left\{\left(\dfrac{1}{r}\right)^n\right\}$ が $0$ に収束するって，本当に大丈夫かな？
どういうことですか？
例えば，$r=0.1$ のときはどうなる？
\[
\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{0.1}=10
\]だから，$\left(\dfrac{1}{r}\right)^n=10^n$ になって……，あ，発散する！
もしかして……場合分け？
その通り。さて，どう場合わけすればいいか。それは「無限等比数列の極限」の講座のまとめを見て考えよう。
こちらの講座ですね。
えっと，$\{r^n\}$ の極限は，$r>1$ のとき, $r=1$ のとき, $-1<r<1$ のとき, $r\leqq -1$ のときでそれぞれ違うから，この4つに場合分けすればいいんですね。
$r=-1$ のときと $r<-1$ のときは，同じ振動でも $1$ と $-1$ を行ったり来たりする場合と，正と負を繰り返しながらどんどん $0$ から離れていく場合とで少し振る舞い方が違うので，この2つの場合に分けて考えたほうがいいよ。ただし，この問題は条件に $r \neq -1$ とあるから，$r=-1$ の場合は考えなくていいよ。
わかりました。$r>1$ のときは，さっき僕がやった感じでいいですか？
いいよ。
$r=1$ のときは代入すればいいのかな？\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{1^n+1}{1^n-2} = \dfrac{2}{-1}=-2
\]あ，できた。
それでOKだ。
$-1 < r < 1$ のときは，$\dlim{n \to \infty}r^n=0$ だから，\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{r^n+1}{r^n-2}=\dfrac{0+1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}
\]だ！
いいね。
$r < -1$ のときは，\begin{align*}
\dlim{n \to \infty}\dfrac{r^n+1}{r^n-2}
&= \dlim{n \to \infty}\dfrac{1+\left(\dfrac{1}{r}\right)^n}{1-\left(\dfrac{2}{r}\right)^n}\\
&=\dfrac{1+0}{1-0} = 1
\end{align*}でいいんですか？
$\left\{\left(\dfrac{1}{r}\right)^n\right\}$ が $0$ に収束すると考えたんだね。それはどう説明する？
$r < -1 $ のときは，$-1 < \dfrac{1}{r} < 0$ だからです。
そうだね。よくできました。では解答を清書しよう。
解答
- $r>1$ のとき，$\dlim{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{r}\right)^n=0$ であるから，\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{r^n+1}{r^n-2}
=\dfrac{1+\left(\dfrac{1}{r}\right)^n}{1-2 \cdot \left(\dfrac{1}{r}\right)^n}
= 1 \cdots (答)
\] - $r=1$ のとき，\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{r^n+1}{r^n-2}
=\dlim{n \to \infty}\dfrac{1^n+1}{1^n-2} = \dfrac{2}{-1}=-2 \cdots (答)
\] - $-1 < r < 1$ のとき，$\dlim{n \to \infty}r^n=0$ であるから，\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{r^n+1}{r^n-2}
= \dfrac{0+1}{0-2}=-\dfrac{1}{2} \cdots (答)
\] - $r<-1$ のとき，$-1 < \dfrac{1}{r} < 0$ より $\dlim{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{r}\right)^n = 0$ であるから，\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{r^n+1}{r^n-2}
=\dfrac{1+\left(\dfrac{1}{r}\right)^n}{1-2 \cdot \left(\dfrac{1}{r}\right)^n}
= 1 \cdots (答)
\]
ちなみに，$r>1$ の場合と $r<-1$ の場合は，やっていることは同じなので，ひとつの場合にまとめてもいいよ。
深いトコ
ちなみに $r=-1$ のとき，この問題の数列がどのような振る舞いをするかわかるかな？
振動じゃないんですか？
きちんと調べてみて。
$n=1$ のときが\[
\dfrac{(-1)^1+1}{(-1)^1-2}=0
\]$n=2$ のときが\[
\dfrac{(-1)^2+1}{(-1)^2-2}=-2
\]それから……
わかった！ $(-1)^n$ は $n$ が奇数のときはいつも $-1$ で，偶数のときは $1$ になるから，この数列は $0$ と $-2$ が交互に出てくる数列。やっぱり振動だ。
そうだね。