無限等比数列の極限の利用
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問題
次の極限値を求めよ。
- $\dlim{n \to \infty}\dfrac{2 \cdot 3^n+2^n}{3^n-2^n}$
- $\dlim{n \to \infty}\dfrac{3^n+2^n}{2^n}$
無限等比数列 $\{r^n\}$ の極限について学んだので，今回はそれを用いた極限の計算だ。
どちらも $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形ですね。こういうときは，分母が $0$ 以外の有限の値に収束するように変形するんでしたね。
ということは，(1)は分母と分子をそれぞれ $3^n$ で割ればいいのかな。
そうすると $\dfrac{2+\dfrac{2^n}{3^n}}{1-\dfrac{2^n}{3^n}}$ か，ここからどうするのかな？
$\dfrac{2^n}{3^n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ と変形できて，これは $0$ に収束するから，$\dfrac{2 + 0}{1+0} $ で答えは $2$ だ！
正解！ 次はどうかな？
今度は分母と分子を $2^n$ で割って，$\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n+1}{1}$ で， $\dfrac{3}{2}$ は $1$ より大きいから正の無限大に発散！
では，まとめよう。
解答
- \[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{2 \cdot 3^n+2^n}{3^n-2^n}
= \dlim{n \to \infty}\dfrac{2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^n}{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}=2 \cdots (答)
\] - \[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{3^n+2^n}{2^n}
= \dlim{n \to \infty}\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n+1}{1} = \infty \cdots (答)
\]