はさみうちの原理
問題
次の極限を求めよ。\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sin \dfrac{2}{3}n\pi
\]
数列とか，極限だけでも難しいのに，三角関数まで登場しちゃった。
$\sin \dfrac{2}{3}n \pi$ は有限の値しか取らないし， $\dfrac{1}{n}$ は $0$ に収束するから，$0 \times (有限値)$ で $0$ に収束。どうですか？
直感的にはそうなんだが，高校でも極限についての次の性質を学ぶので，これを用いて，もっときちんとした解答を書くようにしよう。
極限の性質（大小関係について）
$\dlim{n \to \infty}a_n = \alpha$, $\dlim{n \to \infty}b_n = \beta$ のとき，
- すべての自然数 $n$ について $a_n \leqq b_n$ が成り立つならば，$\alpha \leqq \beta$
- すべての自然数 $n$ について $a_n \leqq c_n \leqq b_n$ ，かつ $\alpha = \beta$ ならば $\dlim{n \to \infty}c_n = \alpha$
1つ目の性質は，$a_n$ より $b_n$ が常に大きいので，極限値を比較しても $\alpha$ より $\beta$ の方が大きいことを意味する。2つ目の性質は，$c_n$ が常に $a_n$ と $b_n$ の間にはさまれていて，しかもその $a_n$ と $b_n$ が同じ値に収束するならば，$c_n$ も同じ値に収束するというもの。2つ目の性質ははさみうちの原理といわれることが多い。次の図を見るとイメージしやすいかな。
青が数列 $\{a_n\}$，緑が数列 $\{b_n\}$，橙が数列 $\{c_n\}$ の推移を表す曲線だと思ってくれ。$x$ 座標が $n$ のところの $y$ 座標がそれぞれ $a_n$, $b_n$, $c_n$ になるという感じだ。図の中には例として $a_1$, $b_1$, $c_1$ を書き込んでいる。$x$ 座標が自然数になるところに黒の点線（縦の線）が引いているんだが，どこを見ても $a_n$（青い点） と $b_n$（緑の点） の間に $c_n$（橙の点）があり，$\{a_n\}$（青い曲線）と$\{b_n\}$（緑の曲線）はこの図ではどちらも $x$ 軸に近づいていく。つまり $0$ に収束している。すると，$\{c_n\}$ （橙の曲線）も $0$ に収束するしかないだろ？
$\{c_n\}$ が $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ にはさまれて，追い込まれていく感じですね。
そう。だから「はさみうち」と呼ばれるんだ。さて，問題の解答だ。
解答
すべての自然数 $n$ について，\[
-1 \leqq \sin \dfrac{2}{3}n\pi \leqq 1
\]が成り立つ。$n > 0$ であるから，各辺を $n$ で割って\[
-\dfrac{1}{n} \leqq \dfrac{1}{n}\sin \dfrac{2}{3}n \pi \leqq \dfrac{1}{n}
\]ここで，\[
\dlim{n \to \infty}\left(-\dfrac{1}{n}\right)=\dlim{n \to \infty}\dfrac{1}{n}=0
\]であるから，はさみうちの原理により\[
\dlim{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sin \dfrac{2}{3}n \pi = 0 \cdots (答)
\]
とても深いトコ
ところで，なんで「定理」じゃなくて「原理」なんですか？
大学レベルだと極限を厳密に定義するので，この性質は厳密に証明できる。だから定理といってもいいんだけど，高校では厳密な証明が与えられないので，直感的に明らかに成り立つ事柄ßという扱いで「原理」と呼んでいるんだろうね。ちなみに，英語では squeeze theorem，あるいは sandwich theorem などと呼ばれるようだ。theorem だから「定理」だね。
極限の厳密な定義は次の2つの記事ね。