無限級数の性質
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問題
無限級数 $\retuwa{n=1}{\infty}\left(\dfrac{4}{5^n}-\dfrac{3}{2^n}\right)$ の和を求めよ。
\[\retuwa{n=1}{\infty}\left(\dfrac{4}{5^n}-\dfrac{3}{2^n}\right) = \retuwa{n=1}{\infty}\dfrac{4}{5^n}-\retuwa{n=1}{\infty}\dfrac{3}{2^n}\]と考えればいいんでしょ？
結果的にはそうだが，いきなりそうするのはちょっと乱暴だ。前やった極限値の性質を思い出してもらおう。
↑のときは，収束するという条件が大切でしたね。
そうだ。無限級数についても，同じようなことがいえる。今回も，収束するという条件の確認が必要だ。
無限級数の性質
無限級数 $\retuwa{n=1}{\infty}a_n$，$\retuwa{n=1}{\infty}b_n$ が収束するとき，
- $\retuwa{n=1}{\infty}ka_n = k \retuwa{n=1}{\infty}a_n$
- $\retuwa{n=1}{\infty}(a_n+b_n) = \retuwa{n=1}{\infty}a_n + \retuwa{n=1}{\infty}b_n$
前と同じように，この2つの性質から\[
\retuwa{n=1}{\infty}(pa_n+qb_n)=p \retuwa{n=1}{\infty}a_n + q \retuwa{n=1}{\infty}b_n
\]が示せるので，\[
\retuwa{n=1}{\infty}(a_n-b_n)=\retuwa{n=1}{\infty}a_n – \retuwa{n=1}{\infty}b_n
\]が成り立つこともいえる。では，解答だ。
解答
$\retuwa{n=1}{\infty}\dfrac{4}{5^n}$ は初項が $\dfrac{4}{5}$, 公比が $\dfrac{1}{5}$ の無限等比級数，$\retuwa{n=1}{\infty}\dfrac{3}{2^n}$ は初項が $\dfrac{3}{2}$，公比が $\dfrac{1}{2}$ の無限等比級数であり，どちらも収束する。したがって，\begin{align*}
\retuwa{n=1}{\infty}\left(\dfrac{4}{5^n}-\dfrac{3}{2^n}\right)
&= \retuwa{n=1}{\infty}\dfrac{4}{5^n}-\retuwa{n=1}{\infty}\dfrac{3}{2^n}\\
&=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{1-\dfrac{1}{5}}-\dfrac{\dfrac{3}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}\\
&= -2 \ \cdots \ \text{(答)}\end{align*}