部分分数分解による和の計算
問題
次の和を求めよ。
- $\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4}
+ \cdots +\dfrac{1}{n(n+1)}$ - $\dfrac{1}{1 \cdot 4}+\dfrac{1}{4 \cdot 7}+\dfrac{1}{7 \cdot 10}
+ \cdots +\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)}$
分数がたくさん並んでる。さすがに全部通分して足すのは無理ですね。
とりあえず，それぞれの項の分母を計算してみるか。\[
\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+ \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)}
\]さて，これからどうする？
よし，では本題に入る前に，次の計算をしてみてくれ。\begin{align*}
\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}
\end{align*}
分数の足し算。しかも文字が出てこない。さすがにそれはできますよ。\begin{align*}
\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} – \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} – \dfrac{2}{6} &= \dfrac{1}{6}\\
\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} – \dfrac{3}{12} &= \dfrac{1}{12}
\end{align*}
あ，これって，さっき僕が求めたやつ……。
あ，ほんとだ。
じゃあ，$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ は？
\begin{align*}
& \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\\
&= \dfrac{n+1}{n(n+1)}-\dfrac{n}{n(n+1)} \\
&= \dfrac{1}{n(n+1)}
\end{align*}
あ，これは問題の数列の第 $n$ 項と同じだ！
そうだね。このことをうまく利用してみよう。
求めたいのは\[
\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+ \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)}
\]で……
今計算したのが\begin{align*}
\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} &= \dfrac{1}{6}\\
\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} &= \dfrac{1}{12}
\end{align*}で，\[
\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} =\dfrac{1}{n(n+1)}
\]も成り立つ。
その分数の計算の逆を利用しよう。例えば，\[
\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}
\]や\[
\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}
\]が成り立つってことが分かったんだよね？ そして，\[
\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}
\]も成り立っている。つまり，すべての自然数 $k$ について\[
\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}
\]が成り立つと考えて差し支えないよ。
そうか。ということは，この式は\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+ \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)\\
+\cdots+ \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\end{align*}と変形するんだな。
あ！ $-\dfrac{1}{2}$ のすぐ後に $+\dfrac{1}{2}$ が出てきて，これは消去できる！ 次も $-\dfrac{1}{3}$ と $+\dfrac{1}{3}$ が……
ということは，途中の分数は全部消えるってことか！ じゃあ，結局，最初と最後だけが残って，\[
\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{n+1}
\]お，式から「$\cdots$」がなくなったぞ！ あとは普通に計算するだけだ。
よくできました。さて，(2)はどうかな？
これも同じようにやればいいんだな。\begin{align*}
&\dfrac{1}{1 \cdot 4}+\dfrac{1}{4 \cdot 7}+\dfrac{1}{7 \cdot 10}\\
&\quad + \cdots +\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} \\
&= \left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}\right)+ \left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}\right)\\
&\quad + \cdots+ \left(\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}\right)
\end{align*}
待って。\begin{align*}
\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}&=\dfrac{3}{4}\\
\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}&=\dfrac{3}{28}\\
\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}&=\dfrac{3}{70}
\end{align*}よ。分子が $3$ になる。\[
\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}=\dfrac{3}{(3n-2)(3n+1)}
\]だから\[
\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}
\]は使えないんじゃ……。
よく気づいたね。しかし，\[
\dfrac{3}{(3n-2)(3n+1)} = \dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}
\]が成り立つことは使ってもいいよね。この式を変形して\[
\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} =
\]の形にすると？
両辺を $3$ で割ればいいんだ！\[
\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}\right)
\]です！
ということは，\begin{align*}
&\dfrac{1}{1 \cdot 4}+\dfrac{1}{4 \cdot 7}+\dfrac{1}{7 \cdot 10}+ \cdots +\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} \\
&= \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}\right)+ \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}\right)+ \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}\right)\\
& \quad + \cdots+ \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}\right)
\end{align*}で，やっぱり最初の$ \dfrac{1}{1}$ と最後の $\dfrac{1}{3n+1}$ 以外は全部消える！
よくできました。じゃあ，清書しよう。
解答
- \begin{align*}
& \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \cdots +\dfrac{1}{n(n+1)}\\
&= \left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+ \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)\\
& \quad +\cdots+ \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\\
&= \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1} \cdots (\text{答})\end{align*} - \begin{align*}
& \dfrac{1}{1 \cdot 4}+\dfrac{1}{4 \cdot 7}+\dfrac{1}{7 \cdot 10}+ \cdots +\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)}\\
&= \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}\right)+ \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}\right)+ \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}\right)\\
& \quad + \cdots+ \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}\right)\\
&= \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3n+1}\right)
= \dfrac{n}{3n+1} \cdots (\text{答})
\end{align*}
深いトコ
さて，今でてきた\[
\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}
\]のように，分数式をそれよりも次数の低い分母を持つ分数式の和や差に変形することができる。このような変形を部分分数分解(partial fraction decomposition)というんだ。
なんか，言いにくいですね。
ぶぶんぶんぶんぶん…っと，間違えた
蜂が飛んできそうな名前だが，印象的な名前は覚えやすさにもつながるので，有効に活用しよう。複雑な例を一つ紹介しよう。
例
\begin{align*}&\dfrac{45x^2+90x-45}{(x-1)^2(x+2)(x^2+1)}\\
&=\dfrac{10}{x-1}+\dfrac{15}{(x-1)^{2}}-\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{9x+27}{x^2+1}\end{align*}
ほんと，複雑ですね。
こんな複雑な分数式でも，きちんと部分分数分解できるんだ。分解前の分数式の分母に $(x-1)^2$ が出てきているが，このとき，分解後の式には，$\dfrac{10}{x-1}$ と $\dfrac{15}{(x-1)^{2}}$ が出てきている。一般に，分母に $(x-\alpha)^n$ が出てくるときは，$\dfrac{a_1}{x-\alpha}$，$\dfrac{a_2}{(x-\alpha)^2}$，$\dfrac{a_3}{(x-\alpha)^3}$， $\cdots$， $\dfrac{a_n}{(x-\alpha)^n}$ を使って分解できる。分子がすべて定数になるというのがポイントだ。分子に変数が登場するのは，例にも出てきているが，分母が $x^2+1$ のように，これ以上因数分解できない2次式のときだ。もちろん，元の分数式の分子の次数が分母の次数より低い場合だが……。
分子の次数が分母の次数より高いときはどうすうるんですか？
そのときは，分子を分母で割った商と余りを求めて， $A(x)=B(x)Q(x)+R(x)$ を使って
\[
\dfrac{A(x)}{B(x)}=Q(x)+\dfrac{R(x)}{B(x)}
\]と変形すれば，$\dfrac{R(x)}{B(x)}$ は分子の次数が分母の次数より小さい分数式になる。この分数式を部分分数分解すれば良い。
実際に部分分数分解するときって，どうやればできるんですか？
例えば，$\dfrac{5x^2+5x-15}{(x+2)(x^2+1)}$ を部分分数分解したいときは，\[
\dfrac{5x^2+5x-15}{(x+2)(x^2+1)}=\dfrac{a}{x+2}+\dfrac{bx+c}{x^2+1}\]とおいて，これを $x$ についての恒等式と考えて定数 $a$, $b$, $c$ を求めるんだ。
両辺に $(x+2)(x^2+1)$ をかけて，$x$ について整理して係数比較ですね。…… $a=-1$, $b=6$, $c=-7$ になりました。
ということは\[
\dfrac{5x^2+5x-15}{(x+2)(x^2+1)}=-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{6x-7}{x^2+1}
\]だね。