関数の極限（根号を含む式）
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問題
次の関数の極限を求めよ。
- $\dlim{x \to 1}\sqrt{x+1}$
- $\dlim{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$
さあ，数列の極限に続いて，今回から関数の極限について考えよう，ということなんだが，実は数学IIで既にやってる。
で，数学IIIになるとどうグレードUPするんですか？
扱う関数の種類が増える。
どこまで増えるんですか？
数学IIでは，微分は整関数しか扱わないので，それを考えるために極限は分数関数までを考えた。数学IIIでは，これまでに習ったほぼ全ての関数が対象だ。
大変そう……。
少しずつ，頑張っていこう。で，今回は無理関数だ。(1)は直感的に考えればそんなに難しくないよ。
$x$ が $1$ に近づくときに，$\sqrt{x+1}$ がどうなるか，ですよね。
そうだよ。
そりゃ， $\sqrt{2}$ でしょ。
そうだね。じゃ，(2)はどうかな？
分母も分子も $0$ に近づくぞ。
不定形，ですね。
よく覚えてたね。
↓に書いてました。
何度も振り返って復習するのは大事なことだよ。で，不定形の場合，そのままだと極限が分からないので，式を変形して考えるんだが……
無理式といえば，有理化！
分母と分子それぞれに $\sqrt{x}+2$ をかけて,\begin{align*}
&\dlim{x \to 4}\dfrac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}\\
&= \dlim{x \to 4}\dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}
\end{align*}あ，約分できる！
ほんとだ！ 続きは\[
\dlim{x \to 4}\dfrac {1}{\sqrt{x}+2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{4}
\]できた！
よし。解答だ。
解答
- $ \dlim{x \to 1}\sqrt{x+1} = \sqrt{2}$
- \begin{align*}
& \dlim{x \to 4}\dfrac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}\\
&= \dlim{x \to 4}\dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}\\
&= \dlim{x \to 4}\dfrac {1}{\sqrt{x}+2}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{4}
\end{align*}