極限と極限値の違い
問題
次の数列の極限があればそれを答えよ。
- $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \cdots , \dfrac{1}{2n}, \cdots $
- $ 1,3,5, \cdots , 2n-1 , \cdots $
- $ -1, -8, -27, \cdots , -n^3, \cdots $
- $ 1, -2, 4, \cdots , (-2)^{n-1}, \cdots $
- $ 1, -1, 1, \cdots , (-1)^{n-1}, \cdots $
極限？ 極限値みたいなもん？
「あればそれを求めよ」って，なんか意味深。
極限値については，次の記事で学んだね。でも，極限という言葉と極限値という言葉は微妙に違う。今回はそれも含めて学んでいこう。
「$n$ を限りなく大きくするとどうなるか」を考えるところは前と同じだ。では(1)から。
これは前と似たような問題ですね。分母だけがどんどん大きくなるから，数列は $0$ に収束。
その通り。では，(2)は？
これは等差数列ですね。初項が $1$ で公差が $2$ ，第$n$項は$2n-1$ です。
で，$n$ を限りなく大きくするとどうなる？
どんどん大きくなる。
どこまで大きくなる？
第$100$項が$199$，第$2000$項は$3999$，第$50000000$項は$99999999$。どこまでも大きくなりそうですね。
そう。限りなく大きくなるんだ。このとき，この数列は「正の無限大に発散する」という。そして，「極限は正の無限大である」ともいう。
「極限値は正の無限大」と言ってはいけないんですか？
この「正の無限大」というのは数値ではないんだ。だから「極限値」というのはおかしい。
細かいなぁ
「ある値に近づく」ともいえないので，この数列は収束しない。収束しないとき，その数列は発散するという。
収束しない数列は，すべて「発散」でいいんですね？
そうです。じゃ，(3)いってみよう。
今度は全部マイナスがついてるぞ。第 $100$ 項は $-1000000$ だ！ これはどう言えばいいんだ？
これこそ，「限りなく小さくなる」でいいのかな？
そうだね。ただ，その言い方だと，前回の隆史君のように「$0$ に近づく」というイメージを持ってしまう人もいるので，誤解のないように言うと「ずっと負の数で，絶対値が限りなく大きくなる」かな。
それもちょっとわかりにくいですね。でも，答えはわかりました。「極限は負の無限大」でいいんですよね？
その通り。じゃ，(4)はどうかな？
今度は正になったり負になったりするぞ。
ある値に近づくという感じではないよね。
しかも，正の方向にいくのか，負の方向にいくのか，さっぱり分からん。
今までの数列は，収束しない場合でも，正の無限大とか負の無限大とか，ある一定の方向へ向かっていくといえたけど，今度は，それすらもいえないよね。こう言う場合は「極限なし」だ。「振動する」とも言う。
正と負を行ったり来たりするから「振動」ですね。
正と負を行ったり来たりするから「振動」とは限らない。例えば前出てきた $-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \cdots $は正と負を行ったり来たりするけど，答えは「$0$ に収束」だったよね。
最後の(5)は $1$ と $-1$ のどちらかに向かっているともいえないので，同じように「振動」でいいですか？
そうだね。では答えをまとめよう。
解答
(1)$0$ (2)正の無限大 (3)負の無限大 (4)極限なし (5)極限なし
最後に，極限と極限値について表にまとめておこう。これをみて，「極限」と「極限値」の2つの言葉の使い分けに注意だ。
極限が正の無限大や負の無限大の場合は，次のような記号が定義されている。
極限の記号の定義
数列 $\{a_n\}$ が正の無限大に発散するとき，\[\dlim{n \to \infty} a_n = \infty\] または \[n \to \infty \text{のとき} a_n \to \infty\]と表す。
数列 $\{a_n\}$ が負の無限大に発散するとき，\[\dlim{n \to \infty} a_n = -\infty\] または \[n \to \infty \text{のとき} a_n \to -\infty\]と表す。
| 第$n$項 | 収束・発散 | 極限値 | 極限 |
|---|---|---|---|
| $\dfrac{1}{2n}$ | 収束 | $\alpha$ | $\alpha$ |
| $2n-1$ | 発散 | なし | 正の無限大 |
| $-n^3$ | 発散 | なし | 負の無限大 |
| $(-2)^{n-1}$ | 発散 | なし | なし（振動） |
極限がない場合はどう書くんですか？
極限がない場合はこのような記号はつかわないのが一般的だ。
$\dlim{n \to \infty}=\text{なし}$ みたいに書いてはいけないんですね。
そうだね。
とても深いトコ
さて，もう気付いているかもしれないが，正の無限大に発散とか負の無限大に発散とか，きちんと定義していないよね。
これも，高校の範囲を越えるんですか？
そうだね。次のようになる。
「正の無限大に発散」の定義
数列 $\{a_n\}$ について，どんな（大きな）正の数 $M$ についても，ある自然数 $N$ が存在して，この $n \geqq N$ を満たすすべての $n$ に対して\[ a_n \geqq M\] が成り立つとき，$\{a_n\}$ は正の無限大に発散するという。
「どんな大きな数 $M$ を用意しても，あるところから先は $M$ より大きな数しか出てこない」って感じですか？
お，いいね。で，数列 $\{-a_n\}$ が正の無限大に発散するとき，数列 $\{a_n\}$ は負の無限大に発散すると定義する。