数列の極限値とは

極限値についての厳密な定義は，高校で学ぶ内容を超えてしまうんで，まずは直観的に理解してもらいたい。まず(1)の数列について考えよう。

では，第 $100$ 項は？

小数で言うと？

じゃあ，第 $10000$ 項は

そう。そして，$n$ が限りなく大きくなると第 $n$ 項はどうなる？

限りなく小さくなるんだったら，$-100$ や $-1000$ なんかよりもっと小さくなるという意味になってしまうね。

いい感じだね。数学では「$0$ に限りなく近づく」という表現を使うことが多いよ。で，このようなとき，この数列は「 $0$ に収束する」というんだ。「極限値が $0$ である」ともいう。

その通り。

逃げちゃダメだぞ。

それでいいよ。これも $0$ に収束だ。じゃあ，(3)はどうだろう？

そうだね。じゃあ，第 $n$ 項は何になる？

その通り。じゃあ，$n$ を限りなく大きくすると第 $ n $ 項はどうなる？

そう。こういう場合もこの数列は収束するというんだ。ずっと $2$ だから，$2$ に収束する，つまり極限値は $2$ というのが答えだよ。

そうだね。この辺が高校数学の限界かな。極限値の厳密な定義が理解できれば，この答えは納得がいくんだけどね。それが難しければ，そういうものなのだと覚えてしまうしかないかな……。というわけで，解答だ。

ちなみに次のような記号が定義されている。

どちらの書き方も，「$n$ を限りなく大きくすると$ a_n$ は $\alpha$ に近づく」と読める。また，$\dlim{}$ は「リミット」と読み（「極限」という意味だね），厳密な表現ではないけど，$n \to \infty$ を「$n$ を無限大に近づける」と読んで，$\dlim{n \to \infty}a_n = \alpha$ は「リミット・$n$ を無限大に近づけたときの・$a_n$ は $\alpha$」のように，前からそのまま読む先生が多いよ。例えば，問題の(1)の結果をこの記号を用いて表すと，$\dlim{n \to \infty}\dfrac{1}{n}=0$ となる。

さて，限界を超えてみよう。そもそも，極限値というのは微分や積分を考えるために必要なものなんだ。微分積分学はニュートン（英）とライプニッツ（独）がほぼ同時期に，それぞれ独立に創設したといわれているんだけど，実は，その頃の極限値の概念は，今学んだような直感的なものだったらしい。

いや，厳密でないが故に，時々おかしな結論が導かれることもあったようだ。

それを高校生が学ぶべきかどうかは意見の分かれるところだけどね。それどころか，微分積分が必要な大学生でも，数学科ではない人が学ぶべきかどうかは意見が分かれるかもしれない。でも，ここでは思いっきり背伸びしてみよう。

$\varepsilon$ は「イプシロン」と読むんだ。ギリシャ文字だよ。他の文字でもいいんだけど，限りなく $0$ に近い数を表す文字としてこの $\varepsilon$ を使う習慣があるんで，今回もこれを使ってみたよ。

だろうね。数学科の大学生も苦労するんだ。さて，問題の(1)で具体的に考えよう。なんでもいいから，$0$ にとても近い数を一つ言ってみて。

$\dfrac{1}{1000}$ だね。じゃあ，(1)の数列の第 $1000$ 項は？

ここで，第 $1000$ 項より先の項は，$0$ からの距離が $\dfrac{1}{1000}$ より小さいものしか出てこないってわかるかな？

さっきの $0.001$ をもっと $0$ に近い数にしても，ある項から先は，それよりも $0$ に近い数しか出てこない，そんな項が必ず存在するんだ。

そう。だから，さっきの定義をちょっと噛み砕いた言い方にすると，「正の数のうちでどんなに $0$ に近い数（これを $\varepsilon$ とする）を用意しても，十分に大きな $N$ を用意すると，数列 $\{a_n\}$ の第 $N$ 項以降には，$\alpha$ からの距離が $\varepsilon$ より小さいような数しか出てこない」というのが $\alpha$ に収束することの定義だ。

そういうこと。