無限等比級数と循環小数
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問題
循環小数 $0.\dot{3}$ を分数の形に表せ。
循環小数！ $0.\dot{3}$ って確か $\dfrac{1}{3}$ でしたよね？
そうなんだが，今回はそれを無限等比級数を用いて示そうというわけだ。
$0.\dot{3}$ って，$0.333333\cdots$ という意味でしたよね？ 無限等比級数とどんな関係が？
\[
0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots
\]と考えてごらん。
初項が $0.3$，公比が $0.1$ の無限等比級数だ！
公比は $0.1$ だから収束して，和は\[
\dfrac{0.3}{1-0.1} = \dfrac{0.3}{0.9} = \dfrac{1}{3}
\]あ，すごい！
というわけで，解答だ。
解答
\[
0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots
\]と表される。この式の右辺は，初項 $0.3$，公比 $0.1$ の無限等比級数である。これは収束し，和は\[
\dfrac{0.3}{1-0.1} = \dfrac{0.3}{0.9} = \dfrac{1}{3}
\]したがって，\[
0.\dot{3} = \dfrac{1}{3}
\]
同様の方法で，\[
0.\dot{9} = 1
\]であることが示せる。ちょっと違和感があるかもしれないが，これが成り立つんだな。