無限等比数列の収束条件
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問題
数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の範囲と，そのときの極限値を求めよ。
さて，無限等比数列 $\{r^n\}$ はどんなときに収束するんだったかな？
$r=1$ のときに $1$ に収束，$-1<r<1$ のときに $0$ に収束です。詳しくは下の講座で学びました。
今回の問題は $r$ のところが $x-1$ になっているわけだから，$ x-1 = 1$ のとき $1$ に収束，$-1 < x-1 < 1$ のとき $0$ に収束。つまり\begin{align*}
x = 2 \text{のとき}, & \text{極限値} 1 \\
0 < x \leqq 2 \text{のとき}, & \text{極限値} 0
\end{align*}です。
そうだね。収束するような $x$ の範囲は「 $x=2$ または $0 < x < 2 $ 」をまとめて「 $0 < x \leqq 2$ 」と書いて，次のようにまとめよう。
解答
収束するような $x$ の範囲は，$ -1 < x-1 \leqq 1$ より\[
0 < x \leqq 2 \cdots (答)
\]極限値は，\begin{align*}
x = 2 \text{のとき}, & \text{極限値} 1 \\
0 < x \leqq 2 \text{のとき}, & \text{極限値} 0 \cdots (答)
\end{align*}
無限等比数列 $\{r^n\}$ の収束条件は次のように整理しておこう。
数列 $\{r^n\}$ の収束条件
\[
\{r^n\} が収束する \iff -1 < r \leqq 1
\]