数列の極限（整式・分数式）
問題
次の極限を求めよ。
- $\dlim{n \to \infty}(n^2-n)$
- $\dlim{n \to \infty}(5n-n^3)$
- $\dlim{n \to \infty}\dfrac{5n+2}{3n-1}$
- $ \dlim{n \to \infty}\dfrac{n^2}{2n+1}$
今回は，一般項が整式や分数式で表される数列の極限について考えよう。実は，これまでも暗黙の了解で使ってきたけど，次の性質は断りなく使ってもいいよ。きちんと証明するには極限の厳密な定義が必要だけど，直感的には明らかだね。
数列 $\{n^k\}$ の極限
$k \geqq 1$ のとき，$\dlim{n \to \infty}n^k = \infty$
分母の絶対値が正の無限大に発散する数列の極限
$\dlim{n \to \infty}\zettaiti{a_n} = \infty$ のとき, $\dlim{n \to \infty} \dfrac{1}{a_n} = 0$
2つ目のは，$\{a_n\}$ が振動して極限を持たない場合でも，$\dlim{n \to \infty}\zettaiti{a_n}=\infty$ であれば使える。例えば $\left\{\dfrac{1}{(-2)^n}\right\}$ などがそうだ。
分母は\[
-2, 4, -8, 16, \cdots
\]で振動するけど，実際は\[
-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{16},\cdots
\]で，確かに $0$ に近づいていきそうですね。
次は，正の無限大に発散する数列についての性質だ。
極限の性質（発散する2つの数列）
$\dlim{n \to \infty}a_n = \infty$, $\dlim{n \to \infty}b_n = \infty$ のとき，
- $\dlim{n \to \infty}(a_n + b_n) = \infty$
- $\dlim{n \to \infty}a_n b_n = \infty$
あくまで形式的な書き方だが，$\infty + \infty = \infty$，$\infty \times \infty = \infty$ と考えると理解しやすい。「限りなく大きいものと限りなく大きいものを足すと，限りなく大きい」のように，これらはほぼ明らかといっていいだろう。次も正の無限大に発散する数列に関する性質だが…。
極限の性質（発散と収束が混在する場合）
$\dlim{n \to \infty}a_n = \infty$, $\dlim{n \to \infty}b_n = \beta$ とする。
- $\dlim{n \to \infty}(a_n + b_n) = \infty$
- $\dlim{n \to \infty}(a_n – b_n) = \infty$
$\beta > 0 $ のとき
- $\dlim{n \to \infty} a_n b_n = \infty$
$\beta < 0 $ のとき
- $ \dlim{n \to \infty} a_n b_n = -\infty$
さっきと同じように形式的だが，$\infty + (\text{有限値}) = \infty$， $\infty – (\text{有限値})= \infty$, $\infty \times (正の有限値)= \infty$, $\infty \times (負の有限値) = -\infty$ と書くとわかりやすいかな。ただ，これらは正確な表現ではないので，正式な場面（例えばテストの解答）でこのような式を書いてはいけないよ。
結局，有限な値は無限大に太刀打ちできないってところですか？
そんなところかな。でも，負の数の掛け算は符号を変えるから気をつけて。
よし，じゃあ問題を解こう。(1)は\[ \dlim{n \to \infty}(n^2-n)=\dlim{n \to \infty}n^2 – \dlim{n \to \infty}n = \infty – \infty\]だから，答は $0$ だ！
本当にそうかな？ この数列がどんな数列なのか，初項からいくつか並べてみようか。
えっと……。第 $n$ 項が $n^2-n$ なんだから，この数列は初項は $1^2-1$ で $0$ だけど，第2項は $2^2-2$ で $2$ だから，最初から並べていくと\[
0, 3, 6, 12, \cdots
\]あれ？ どんどん増えていくような……。
そうだね。最初の隆史君の答だけど，まず，念のために言っておくけど，$ \infty – \infty$ という式は解答に書いちゃいけないよ。形式的に $ \infty – \infty$ の形と考えたのはいいんだけど，この形は上の性質の中には登場しないよね。
公式は，条件をよく考えて使わなければいけませんね。
その通り。
でも，(1)と(2)は$\infty – \infty$ のような形だし，(3)と(4)は $\dfrac{\infty}{\infty}$ のような形。どちらも，さっき出てきた性質が使えないんですけど。
だから，それが使えるように式を変形するんだ。例えば， (1)は\[
\dlim{n \to \infty}(n^2-n) = \dlim{n \to \infty}n^2\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\]と変形するとどうだろう。
えっと，$\dlim{n \to \infty}n^2 = \infty$ で，$\dlim{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=1$ だから，$\infty \times 1$ の形なので $\infty$ ！
その通り！
じゃあ(2)は\[
\dlim{n \to \infty}(5n-n^3) = \dlim{n \to \infty}n^3\left(\dfrac{5}{n^2}-1\right)\]だから，$\infty\times(-1)$ の形で $-\infty$ ！
次はどうかな？
$n$ でくくって，
$\dlim{n \to \infty}\dfrac{n\left(5+\dfrac{2}{n}\right)}{n\left(3-\dfrac{1}{n}\right)}$
約分できる！ $ \dlim{n \to \infty}\dfrac{5 + \dfrac{2}{n}}{3-\dfrac{1}{n}}$ になるから，分母も分子も収束して，答は $\dfrac{5}{3}$ ！
そうだね。最初の式の分母と分子をそれぞれ $n$ で割ったと考えてもいいね。分母が0以外の有限な値に収束するように変形するのがポイントだ。
(4)も分母と分子を $n$ で割って，$ \dlim{n \to \infty}\dfrac{n}{2+\dfrac{1}{n}}$ だから, $\dfrac{\infty}{2}$ の形？
$\infty \times \dfrac{1}{2}$ の形と考えれば？
$\dfrac{1}{2}$ は正の有限値だから，$\infty$ ！
その通り。ではまとめよう。
解答
- $\dlim{n \to \infty}(n^2-n) = \dlim{n \to \infty}n^2\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=\infty \cdots (答)$
- $\dlim{n \to \infty}(5n-n^3) = \dlim{n \to \infty}n^3\left(\dfrac{5}{n^2}-1\right)=-\infty \cdots (答)$
- $\dlim{n \to \infty}\dfrac{5n+2}{3n-1}=\dlim{n \to \infty}\dfrac{5 + \dfrac{2}{n}}{3-\dfrac{1}{n}}=\dfrac{5}{3} \cdots (答)$
- $\dlim{n \to \infty}\dfrac{n^2}{2n+1}=\dlim{n \to \infty}\dfrac{n}{2+\dfrac{1}{n}}=\infty \cdots (答)$
さて，この問題で出てきたのは $\infty – \infty$ の形と $\dfrac{\infty}{\infty}$ の形だが，収束したり，正の無限大に発散したり，負の無限大に発散したりと，様々な結果になったね。
$\infty – \infty = 0$ とか $\dfrac{\infty}{\infty}=1$ とかじゃないんですね。
もちろん，そうなる場合もあるんだけど，そうじゃない場合も多い。この形からは極限がどうなるかが分からないから，このような形は不定形(indeterminate form)といわれている。
答が定まらないから不定形ですね。他にも不定形ってあるんですか？
$\dfrac{0}{0}$，$\infty \times 0$，$1^\infty$，$\infty^0$，$0^0$ などの形も不定形だよ。