極限の計算（無理式）
問題
次の極限を求めよ。
- $\dlim{n \to \infty}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2})$
- $\dlim{n \to \infty}(\sqrt{n^2+3n}-n)$
また $\infty – \infty$ の形だ。前のように共通因数をくくるわけではなさそうだけど……。
これは，やり方を知らないとなかなか難しいと思うので，ヒントだ。まず $\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}$ を $\dfrac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}}{1}$ と無理矢理に分数の形と考えて，この分数の分母と分子に $\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}$ をかけてみよう。
\[
\dfrac{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2})(\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2})}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}
\]になるから，分子を展開すると\[
\dfrac{(n+3)-(n+2)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}
\]
なんか，分母の有理化みたいね。
有理化されたのは分子だから，「分子の有理化」だね。さて，極限はどうなるかな？
分母が限りなく大きくなるから，極限は $0$ ですね。
いいでしょう。では(2)だ。
さっきと同じように，分子の有理化をすればいいんですね。\begin{align*}
& \sqrt{n^2+3n}-n\\
&= \dfrac{(\sqrt{n^2+3n}-n)(\sqrt{n^2+2n}+n)}{\sqrt{n^2+3n}+n}\\
&= \dfrac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}\\
&= \dfrac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}
\end{align*}
今度は，$\dfrac{\infty}{\infty}$ の形の不定形になりましたね。
不定形は次の記事で学んだね。今回もあのときと同じような考え方で解決できるよ。詳しくは下の講座だ。
分母と分子を $n$ で割ればいいのかな？
やってみよう。\[
\dfrac{3}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}}+1}
\]だから，お，収束しそうだ。
ちょっと待って，ルートの中はどうやったの？
$\sqrt{n^2+3n}$ を $n$ で割るから\[
\dfrac{\sqrt{n^2+3n}}{n}=\sqrt{\dfrac{n^2+3n}{n^2}}=\sqrt{1+\dfrac{3}{n}}
\]というふうに考えたよ。
今は，$n$ は自然数と考えていいので，それで大丈夫だ。もし $n$ が負の数になる可能性があるときは $n=\sqrt{n^2}$ が成り立たないから気をつけて。その場合は，\[
\dfrac{\sqrt{n^2+3n}}{n}=\sqrt{\dfrac{n^2+3n}{n^2}}
\]の変形はできないよ。さあ，解答だ。
解答
- \begin{align*}
&\dlim{n \to \infty}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2})\\
&=\dlim{n \to \infty}\dfrac{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2})(\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2})}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}\\
&=\dlim{n \to \infty}\dfrac{(n+3)-(n+2)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}\\
&= \dlim{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}=0 \cdots (答)
\end{align*} - \begin{align*}
&\dlim{n \to \infty}(\sqrt{n^2+3n}-n)\\
&= \dlim{n \to \infty}\dfrac{(\sqrt{n^2+3n}-n)(\sqrt{n^2+3n}+n)}{\sqrt{n^2+3n}+n}\\
&= \dlim{n \to \infty}\dfrac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}\\
&= \dlim{n \to \infty}\dfrac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}\\
&= \dlim{n \to \infty}\dfrac{3}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}}+1}=\dfrac{3}{2} \cdots (答)
\end{align*}